Seri Fourier: istwa a ak enfliyans nan mekanis nan matematik pou la devlopman nan syans

seri Fourier - sa a wè abitrèman chwazi fonksyon fè sou peryòd ki nan yon ranje. An tèm jeneral, se solisyon sa a yo rele eleman nan ekspansyon sou yon baz orthogonal. ekspansyon an nan fonksyon nan seri Fourier se byen yon zouti pwisan pou rezoud pwoblèm divès kalite akòz pwopriyete yo nan transfòmasyon nan nan, diferansyasyon nan entegrasyon, osi byen ke yon chanjman nan ekspresyon an agiman ak konvolusyon.

Yon moun ki pa abitye ak pi wo matematik, menm jan tou ak travay yo nan syantis franse Fourier a, gen plis chans pa pral konprann sa "ranje ki" ak sa yo fè. Men, sa a transfòmasyon se byen byen fèm antre lavi nou. Li se itilize pa matematik sèlman, men tou fizisyen, famasi, doktè, astwonòm, sismolog, oseanograf ak lòt moun. Se pou nou tou pran yon gade pi pre ak travay yo nan syantis la gwo franse ki te fè dekouvèt la, devan yo nan tan l 'yo.

Nonm lan ak Fourier a transfòme

seri Fourier se youn nan metòd yo (ansanm ak analiz ak lòt moun) nan Fourier a transfòme. Pwosesis sa a pran plas chak fwa yon moun tande nenpòt son. zòrèy nou otomatikman konvèti vag nan son. mouvman osilant nan patikil elemantè nan yon mwayen elastik yo elaji nan seri a (spectre an) valè volim siksesif pou ton nan Heights diferan. Apre sa, sèvo a konvèti done sa a nan son yo konnen yo pou nou. Tout bagay sa a se nan adisyon a dezi nou oswa konsyans tèt li, men nan lòd yo konprann pwosesis yo ki pran plizyè ane yo etidye pi wo matematik.

Li plis sou Fourier a transfòme

Fourier a transfòme ka te pote soti analyse, chif nimeral ak lòt metòd. seri Fourier yo pwosesis nimewotasyon pou dekonpoze nenpòt pwosesis osilant - soti nan mare yo lanmè ak lanm lanmè de limyè a sik solè (ak lòt objè astwonomik) aktivite. Lè l sèvi avèk teknik sa yo matematik, li se posib yo demont fonksyon an, ki reprezante nenpòt pwosesis osilant nan yon nonb de eleman sinuzoido ki ale soti nan minimòm kantite maksimòm ak vis vèrsa. Fourier a transfòme se yon fonksyon dekri faz la ak anplitid nan sinusoids ki koresponn a yon frekans an patikilye. Ka pwosesis sa a dwe itilize pou rezoud yon ekwasyon trè konplèks ki dekri pwosesis yo dinamik ki fèt anba aksyon an nan chalè, limyè oswa enèji elektrik. Epitou, seri a Fourier itilize yo fè distenksyon ant DC eleman nan trase konplèks, ki fè li posib yo kòrèkteman entèprete obsèvasyon ki fèt yo eksperimantal nan medikaman, chimi ak astwonomi.

enfòmasyon istorik

fondatè Papa a nan teyori sa a se matematisyen nan franse Zhan Batist Zhozef Fure. non li pita e li te transfòmasyon sa a te rele. Okòmansman, syantis yo te itilize yon teknik yo etidye epi eksplike fòmil yo nan konduktiviti tèmik - pwopagasyon chalè nan solid. Fourier sigjere ke ka premye distribisyon an iregilye nan vag nan tèmik dwe dekonpoze nan sinuzoid senp, chak nan yo ki pral gen minimòm li yo tanperati ak kantite maksimòm, osi byen ke faz li yo. Se konsa chak eleman sa yo dwe mezire distans ant de minimòm kantite maksimòm ak vis vèrsa. Fonksyon an matematik ki dekri tèt yo anwo ak pi ba yo nan koub la, osi byen ke faz la nan chak Harmony, ki rele Fourier a transfòme nan distribisyon an tanperati ki nan ekspresyon. Otè a nan teyori a nan redwi fonksyon distribisyon an jeneral ki se difisil nan deskripsyon matematik, nan yon trè fasil okipe yon nimewo nan fonksyon peryodik nan sinis ak kosinis, nan kantite lajan an nan bay distribisyon inisyal la.

Prensip la nan konvèsyon ak opinyon yo nan kontanporen

Kontanporen nan syantis la - Matematisyen yo ki mennen nan diznevyèm syèk la byen bonè - pa t 'resevwa sa a teyori. objeksyon prensipal la te apwobasyon an nan Fourier ki fonksyon an diskontnu dekri yon liy dwat oswa koub chire, li kapab reprezante kòm yon sòm de ekspresyon sinuzoido ki kontinyèl. Kòm yon egzanp, konsidere yon "etap" Heaviside: valè li yo se zewo nan bò gòch la nan espas sa a, yonn sou bò dwat la. fonksyon sa a dekri depandans nan kouran elektrik sou varyab la tan pou chèn nan fèmti. teyori Haitian lè sa a, pa t 'janm rankontre tankou yon sitiyasyon, lè ta yon ekspresyon diskontnu dwe dekri pa yon konbinezon de kontinyèl, fonksyon ki komen yo, tankou eksponansyèl, sinis, lineyè oswa kwadratik.

Ki sa ki anmande Matematisyen franse yo nan teyori a nan Fourier?

Apre yo tout, si yon matematisyen te dwat yo diskite, lè sa a, adisyon yon enfini seri Fourier trigonometrik, li se posib jwenn yon reprezantasyon ki ekzak sou etap la nan ekspresyon, menm si li gen yon seri nan etap menm jan an. Nan diznevyèm syèk la byen bonè, deklarasyon sa a te sanble absid. Men, malgre tout dout yo, anpil Matematisyen te elaji sijè ki abòde lan etid la nan sa a fenomèn, k ap deplase li pi lwen pase syans yo kondiksyon tèmik. Sepandan, pi fò syantis kontinye soufri kesyon an: "? Èske sòm total la nan seri a vag sinis converges nan valè a egzak nan yon fonksyon diskontnu"

Dirèksyon nan seri Fourier: egzanp

Pwoblèm nan nan dirèksyon leve chak fwa ou bezwen somasyon an yon seri enfini nan chif yo. konsidere yon klasik egzanp pou konpreyansyon a nan sa a fenomèn. Èske w te janm rive nan miray ranpa a nan, si chak etap se mwatye anvan an? Sipoze ou yo se de mèt soti nan objektif la, premye etap la pi pre alantou mwatye fason sa a, pwochen an - make la nan yon twa ka, epi apre senkyèm lan, ou pral simonte prèske 97 pousan nan wout la. Sepandan, pa gen pwoblèm ki jan anpil etap ou te fè ni, sib la gen entansyon ou rive nan nan yon sans strik matematik. Lè l sèvi avèk kalkil nimerik, nou ka pwouve ke nan fen a pouvwa gen pi pre yon abitrèman ti distans bay yo. Sa a se ekivalan a yon prèv ki pou pwouve ke valè a total de yon mwatye, yon sèl katriyèm, ak sou sa. E. Èske yo gen tandans inite.

Pwoblèm nan nan dirèksyon: vini, dezyèm lan, oswa enstriman, Seyè Kelvins

Repete kesyon an leve nan diznevyèm syèk la byen ta nan, lè yo te seri a Fourier eseye sèvi ak nou ka prevwa entansite a nan ebbs yo ak ap koule. Lè sa a, Seyè Kelvins te envante aparèy se yon òdinatè analòg ki pèmèt maren marin ak komèsan marin kontwole se yon fenomèn natirèl. Sa a mekanis defini seri faz ak anplitud nan wotè a tab nan mare yo ak korespondan moman yo tan, ak anpil atansyon mezire nan pò a pandan tout ane a. Chak paramèt se yon sinuzoido Heights eleman ekspresyon mare e li te youn nan eleman yo regilye. Rezilta yo mezi yo opinyon nan aparèy la informatique Seyè Kelvins, sentèz koub ki prevwa wotè nan dlo a kòm yon fonksyon nan ane pwochèn la. Trè byento, koub sa yo yo te trase moute pou tout pò yo nan mond lan.

Men, si pral pwosesis la gen pou kase ren diskontnu fonksyon?

Lè sa a, li te sanble evidan ke aparèy la predi ke yon vag mare, ak eleman anpil nan kont lan ka kalkile yon gwo kantite faz ak anplitud, e konsa bay yon prediksyon pi egzak. Men, li te tounen soti ke modèl sa a se pa sa obsève nan ka kote ekspresyon an mare ke yo pral sentèz, genyen yon so byen file, se sa ki, yo diskontnu. Nan evènman an ki aparèy la a antre nan done ki sòti nan yon tab nan pwen tan, li kalkile Koefisyan Fourier kèk. Rekipere fonksyon orijinal la akòz eleman nan sinuzoido (an akò avèk Koefisyan yo te jwenn). ka erè ki genyen ant orijinal la ak ekspresyon ki rekonstwi pou mezire nan nenpòt ki pwen. Lè kalkil yo repete ak konparezon ka wè ke valè a nan erè a pi gran se pa sa redwi. Men tou, yo lokalize nan rejyon an ki koresponn a pwen an nan kraze, ak nenpòt lòt pwen yo gen tandans a zewo. Nan 1899, yo te rezilta sa a konfime teyorikman Jozye Willard Gibbs nan Yale University.

Dirèksyon nan seri Fourier ak devlopman nan nan matematik kòm yon antye

analiz Fourier pa aplike nan ekspresyon ki gen yon nonb infini nan eklat nan yon entèval sèten. Nan seri Fourier jeneral, si se fonksyon orijinal la reprezante pa rezilta a nan mezi yo reyèl fizik, toujou konvèje. Kesyon nan dirèksyon nan pwosesis sa a pou klas espesifik nan fonksyon yo te mennen branch nouvo nan matematik, tankou teyori a nan jeneralize fonksyon. Li se ki asosye ak non tankou Schwartz, J .. Mikusiński ak J. tanp lan. Anba sa a teyori, li te yon ki klè ak egzak baz teyorik pou ekspresyon sa yo te etabli kòm fonksyon nan delta Dirac (li dekri rejyon an nan yon zòn sèl, konsantre nan yon katye infiniman a pwen an) ak "etap" Heaviside. Atravè travay sa a Fourier seri te vin aplikab pou rezoud ekwasyon ak pwoblèm, ki gen pou wè ak konsèp entwisyon: pwen chaj, mas pwen, dipol mayetik, ak chay la konsantre sou gwo bout bwa a.

metòd Fourier

seri Fourier, an akò ak prensip yo nan entèferans, kòmanse ak dekonpozisyon nan fòm konplèks nan ki pi senp. Pou egzanp, yon chanjman nan koule chalè akòz pasaj li yo nan baryè yo divès kalite nan chalè a posibilite materyèl nan fòm iregilye oswa chanje sifas tè - yon tranbleman tè, yon chanjman nan òbit la nan kò selès la - enfliyans nan planèt yo. Tipikman, ekwasyon sa yo dekri senp klasik primè sistèm Rezoud pou chak longèdonn endividyèl elèv yo. te Fourier montre ke solisyon senp ka adisyone moute kòm pou plis fè ki konplike. Nan lang nan nan matematik, Fourier seri - yon metodoloji pou soumèt a nan ekspresyon sòm Harmony - kosinis ak vag sinis. Se poutèt sa, se analiz sa a tou li te ye sou non nan "Harmony analiz".

Fourier seri - yon metòd ideyal yo "gen laj nan òdinatè"

Anvan yo fè kreyasyon an nan teknoloji konpitè Fourier metòd se zam la pi byen nan asenal a nan syantis ap travay ak nati a vag nan mond nou an. seri Fourier nan fòm konplèks pèmèt ou pa sèlman rezoud pwoblèm ki senp ki prèt l dirije aplikasyon nan lwa Newton a nan mekanik, men tou, ekwasyon yo fondamantal. Pifò nan dekouvèt yo nan syans Newton nan diznevyèm syèk la te vin posib sèlman akòz metòd la Fourier.

Fourier seri jodi a

Ak devlòpman sou Fourier transfòme òdinatè yo te augmenté nan yon nivo nouvo. Teknik sa a se byen fèm consacré nan prèske tout jaden nan syans ak teknoloji. Kòm yon egzanp, yon odyo dijital ak videyo. te aplikasyon li te fè posib gras sèlman nan teyori a devlope pa matematisyen nan franse nan diznevyèm syèk la byen bonè. Kidonk, gen seri a Fourier nan fòm konplèks pèmèt yo fè yon zouti nan etid la nan espas eksteryè. Anplis de sa, li te afekte etid la nan fizik yo nan materyèl semi-conducteurs ak Plasma, acoustique mikwo-onn, oseyanografi, rada, seismoloji.

Trigonometrik Fourier seri

Nan matematik, yon seri Fourier se yon fason pou reprezante abitrè fonksyon konplèks kòm yon sòm de ki pi senp. Nan ka jeneral, ki kantite ekspresyon pouvwa gen enfini. pi gwo nimewo nan nan konte nan kalkil la, se pi egzak rezilta a final la jwenn. Itilize nan pi komen nan senp kosinis trigonometrik oswa fonksyon sinis. Nan ka sa a, se seri a Fourier rele trigonometrik, ak desizyon an nan ekspresyon sa yo - Harmony dekonpozisyon. Metòd sa a jwe yon wòl enpòtan nan matematik. Premye a tout, seri a trigonometrik bay yon mwayen pou imaj la, osi byen ke etid la nan fonksyon, li se inite a prensipal nan teyori a. Anplis de sa, li pèmèt nou rezoud yon kantite pwoblèm nan fizik matematik. Finalman, li te teyori sa a kontribye nan devlopman nan nan analiz matematik, li te bay monte nan yon kantite branch trè enpòtan nan syans matematik (teyori nan entegral, teyori a nan fonksyon peryodik). Anplis de sa, pwen an kòmanse pou devlopman nan nan bagay sa teyori yo : kouche, fonksyon de yon varyab reyèl, analiz fonksyonèl, epi tou li moute fondasyon kay la pou analiz Harmony.