Boolean aljèb. aljèb nan lojik. Eleman nan lojik matematik

Nan mond la jodi a nou ap de pli zan pli lè l sèvi avèk yon varyete de machin ak gadjèt. Men, pa sèlman lè li nesesè pou aplike pou literalman pase moun nòmal fòs: deplase chay la ogmante li nan wotè a, fouye long ak gwo twou san fon tranche, elatriye Machin jodi a kolekte robo, manje, manje se kwit multivarki ak kalkil aritmetik primè pwodwi kalkilatris ... Plis ak plis souvan nou tande fraz la "Boolean aljèb". Petèt lè a rive yo konprann wòl nan nan èt imen nan kreyasyon an nan robo ak machin kapasite nan rezoud pa sèlman matematik, men tou, pwoblèm ki lojik.

lojik

Nan lojik Greek la - yon sistèm te bay lòd nan te panse ki ka kreye relasyon ki genyen ant kondisyon sa yo bay ak pèmèt ou fè dediksyon ki baze sou sipozisyon ak estimasyon. Byen souvan, nou mande youn ak lòt: "Li se ki lojik nan" repons lan konfime sipozisyon nou an oswa kritike tren an nan panse. Men, pwosesis la pa sispann la: nou kontinye pale.

Pafwa nimewo a nan kondisyon (opinyon) se tèlman gwo, ak relasyon ki genyen ant yo se konsa konfizyon ak konplèks ki nan sèvo moun se pa kapab "dijere" tout nan yon fwa. Ou ka bezwen plis pase yon mwa (semèn, ane) pou konpreyansyon nan sa k ap pase. Men, lavi modèn pa ban nou sa yo entèval tan pou pran desizyon pou. Apre sa, nou resort nan èd la nan òdinatè. Epi li se isit la ke gen yon aljèb ak lojik, ak lwa li yo ak pwopriyete. Apre ou fin chaje tout nan done yo orijinal la, nou pèmèt òdinatè a yo rekonèt tout relasyon, elimine kontradiksyon ak jwenn yon solisyon satisfezan.

Matematik ak lojik

Pi popilè Gotfrid Vilgelm Leybnits formul konsèp nan "lojik matematik", ki travay yo te fasil a konprann sèlman yon ti sèk nan entelektyèl. Nan enterè patikilye se direksyon an pa t 'lakòz, ak nan mitan an nan syèk la XIX nan lojik matematik li te ye nan kèk.

gen enterè nan gwo nan kominote a syantifik ki te koze yon diskisyon nan ki Anglè Dzhordzh bu an te deklare entansyon li a etabli yon branch nan matematik, pa gen absoliman okenn itilize pratik. Kòm nou konnen soti nan istwa, nan moman sa a aktivman devlope pwodiksyon endistriyèl, nou devlope tout kalite machin oksilyè, t. E. tout dekouvèt syantifik te gen yon oryantasyon pratik.

Gade devan, nou di ke yon Boolean Algebra - ki pi itilize a nan mond la jodi a yon pati nan matematik. Se konsa, agiman ou Buhl pèdi.

Dzhordzh bu

pèsonalite nan otè a merite atansyon espesyal. Menm yo bay lefèt ke nan moun ki sot pase yo te grandi devan nou, toujou li ta dwe te note ke nan 16 ane sa yo nan Jan. Buhl anseye nan lekòl la vilaj, ak a 20 ane louvri pwòp lekòl yo nan Lincoln. Matematisyen parfe metrize senk lang etranje yo, ak rezèv nan tan li, yo te lekti travay yo nan Newton ak Lagrange. Ak tout sa a - pou pitit gason yon travayè òdinè a!

Nan 1839, Buhl voye premye papye syantifik li nan Cambridge matematik Journal la. Syantis yo te tounen 24 ane fin vye granmoun. travay Boole a se manm sa yo enterese nan sosyete a Royal, nan 1844 li te resevwa yon meday pou kontribisyon li nan devlopman nan analiz matematik. Yon kèk pibliye papye nan ki eleman ki nan lojik matematik, matematik pèmèt jèn yo pran post la nan pwofesè nan Kolèj la nan Konte Cork te dekri yo. Sonje byen, nan edikasyon nan anpil Boole pa t '.

lide

Nan prensip, Boolean aljèb se trè senp. Gen deklarasyon (ki lojik ekspresyon) ki, ki soti nan pwen an de vi nan matematik, kapab fèt sèlman defini nan de mo: "vre" oswa "fo". Pou egzanp, pye bwa nan fleri sezon prentan - verite a, nan sezon lete an li nèj - yon manti. Bote a nan matematik se ke li se pa estrikteman nesesè yo sèvi ak nimewo sèlman. Pou jijman ki soti aljèb byen anfòm nenpòt deklarasyon ak siyifikasyon inik.

Se konsa, ka aljèb nan lojik dwe itilize literalman toupatou: nan orè ak ekri enstriksyon an, analiz nan enfòmasyon konfli sou evènman yo ak detèminasyon an nan sekans nan aksyon yo. Bagay ki pi enpòtan - yo reyalize ke li pa gen pwoblèm ki jan nou detèmine verite a oswa enfidelite nan deklarasyon. Soti nan sa yo "ki jan" ak "poukisa" ou bezwen inyore. Sa ki enpòtan se sèlman yon deklarasyon sou reyalite: verite a se yon manti.

Natirèlman, pwogramasyon fonksyon ki pi enpòtan nan aljèb nan lojik ke yo anrejistre ak siy ki apwopriye ak senbòl. Ak aprann yo - sa vle di aprann yon nouvo lang etranje. Pa gen anyen ki enposib.

konsèp debaz ak definisyon

San yo pa pral antre nan pwofondè, nou fè fas ak tèminoloji. Se konsa, Boolean aljèb explik:

• deklarasyon;
• operasyon lojik;
• fonksyon ak lwa yo.

Deklarasyon - nenpòt ekspresyon afimatif ki ka entèprete de-valè. Yo ekri tankou nimewo (5> 3) oswa formul Mo abitye (elefan - mamifè nan pi gwo). Nan ka sa a, fraz la "kou jiraf la se pa" tou te gen dwa sou yon egziste, se sèlman Boolean aljèb defini li kòm "yon manti."

Tout deklarasyon yo ta dwe ékivok, men yo pouvwa gen debaz oswa konpoze. Dènye itilize lojik pake. E. Nan konpoze an deklarasyon aljèb jijman ki te fòme pa adisyon a nan operasyon lojik elemantè.

operasyon aljèb Boolean

Nou deja sonje ke operasyon yo nan aljèb la jijman - lojik. Menm jan aljèb la nan nimewo lè l sèvi avèk operasyon yo aritmetik yo ajoute, fè soustraksyon, oswa konpare nimewo, eleman lojik matematik pèmèt yo fè deklarasyon konplèks, refize oswa yo kalkile rezilta final la.

operasyon lojik pou ofisyalize a ak senplisite eksprime pa fòmil la, abitye nan nou nan aritmetik. Pwopriyete ekwasyon aljèb Boolean fè li posib nan dosye ak kalkile enkoni an. operasyon lojik yo anjeneral anrejistre pa tab la verite a. eleman li yo defini kolòn ak operasyon informatique ki se ki fèt sou yo, epi ranje yo montre rezilta a nan kalkil.

lojik de baz nan aksyon

Ki pi komen an nan operasyon yo aljèb Boolean yo negasyon (PA), ak ki lojik nan ak ak OSWA. Se konsa, li se posib yo dekri pratikman tout etap sa yo nan jijman aljèb. Nou etidye an detay chak nan twa operasyon yo.

se negasyon la (pa) aplike nan yon sèl eleman (opérande). Se poutèt sa, se operasyon an rele yon negasyon unèr. Nan dosye konsèp nan "pa yon" lè l sèvi avèk senbòl sa yo: ¬A, se yon oswa A !. Nan fòm tabulaire li sanble tankou sa a:

Fonksyon an nan refi tipik nan tankou yon deklarasyon: si A se vre, Lè sa a, A - se fo. Pou egzanp, lalin lan vire toutotou Latè a - verite a; Latè vire toutotou lalin lan - yon manti.

Lojik miltiplikasyon ak adisyon

Ki lojik e ki operasyon yo rele yon konjonksyon. Kisa sa vle di? Pwemyeman, ke li kapab aplike nan de opérandes, sa vle di, mwen - .. binè operasyon. Dezyèmman, li se sèlman nan ka a nan sa a verite a nan tou de opérandes (tou de A ak B) se vre ak ekspresyon nan tèt li. pwovèb la, "Pasyans ak yon ti kras efò" implique ke se sèlman de faktè ka ede yon moun fè fas ak difikilte sa yo.

senbòl yo te itilize pou anrejistreman: A∧B, A⋅B oswa A && B.

Konjonksyon se menm jan ak miltiplikasyon nan aritmetik. Pafwa ak di - ki lojik miltiplikasyon. Si ou anpil anpil pitit eleman ki nan ranje yo nan tablo a, nou jwenn yon rezilta menm jan ak panse lojik.

Disjonksyon se yon lojik OSWA operasyon. Se vrè si omwen youn nan deklarasyon sa yo se vre (swa A oswa B). Se sa ki ekri tankou sa a: A∨B, A + B oswa A || B. tab la verite pou operasyon sa yo:

Disjonksyon menm jan an de sa aritmetik. lojik operasyon de sa gen sèlman yon restriksyon: 1 + 1 = 1. Men, nou sonje ke nan yon fòma dijital limite a sa sèlman lojik matematik 0 ak 1 (kote 1 - verite a, 0 - fo). Pou egzanp, deklarasyon an "nan mize a ou ka wè yon chèf oswa jwenn yon konpayi bon" vle di sa ou ka wè travay atistik, ak li se posib al kontre yon moun ki enteresan. An menm tan an, pa akote posiblite a nan similtane pwogrè nan tou de evènman yo.

Fonksyon ak lwa

Se konsa, nou deja konnen sa operasyon an ki lojik lè l sèvi avèk Boolean aljèb. Fonksyon dekri tout pwopriyete yo nan eleman yo nan lojik matematik, ak pèmèt nou senplifye deklarasyon konpoze konplèks. pi klè nan ak senp sanble pwopriyete rejè nan operasyon yo dérivés. Pa dérivés yo konprann or, enplikasyon ak ekivalans. Kòm nou te li sèlman ak operasyon debaz yo, ak Lè sa a pwopriyete a tou se sèlman konsidere yo.

Asosyativite vle di ke nan deklarasyon sa yo tankou "tou de A ak B, ak lis sekans B 'nan opérandes yo pa gen pwoblèm. se Fòmil la ekri jan sa a:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Kòm ou ka wè, sa a se pa inik nan konjonksyon nan men yon disjonksyon.

Pòtoprens diskite ke rezilta a nan konjonksyon a oswa disjonksyon pa depann de ki te atik konsidere kòm nan kòmansman an:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity pèmèt divilge parantèz nan ekspresyon konplèks lojik. Règ yo se menm jan ak parantèz nan ouvèti ki nan miltiplikasyon an ak adisyon nan aljèb:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

pwopriyete Inite w la ak grate, sa ki ka dwe youn nan opérandes yo yo tou menm jan ak miltiplikasyon an aljebrik pa zewo oswa yon sèl, ak adisyon nan yon inite:

A∧0 = 0, A∧1 = Yon; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency di nou ke si relativman de opérandes egal rezilta a nan operasyon an se menm bagay la, ou ka "voye jete" depase opérandes yo konplike rezònman. Apre sa, ansanm ak disjonksyon operasyon yo se idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Akizisyon tou pèmèt nou senplifye ekwasyon an. Absòpsyon eta yo ki lè se ekspresyon ki aplike nan yon sèl opérande, yon lòt operasyon ak eleman an menm nan opérande nan rezilta se absòbe operasyon.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

sekans nan operasyon

Sekans an nan operasyon se nan gwo enpòtans. Aktyèlman, menm jan pou aljèb, gen yon fonksyon priyorite ki sèvi ak yon aljèb Boolean. Fòmil ka senplifye sèlman sijè a siyifikasyon nan operasyon yo. Ranking nan enpòtan an pi plis nan neglijab, nou jwenn sekans ki anba la a:

1. Refi.

2. konjonksyon.

3. disjonksyon a, or.

4. enplikasyon la, ekivalans.

Kòm ou ka wè, se sèlman negasyon an nan konjonksyon a epi yo pa gen egal priyorite. Yon priyorite nan disjonksyon la ak or yo egal, menm jan tou priyorite yo nan enplikasyon ak ekivalans.

Fonksyon nan enplikasyon ak ekivalans

Kòm nou te di, nan adisyon a operasyon debaz yo ki lojik, lojik matematik ak teyori nan algoritm lè l sèvi avèk dérivés. Li se pi souvan enplikasyon a ak ekivalans.

Enplikasyon a oswa konsekans lojik - deklarasyon sa a, nan ki yon aksyon se yon kondisyon, ak lòt la - rezilta nan aplikasyon li. Nan lòt mo, pwopozisyon sa a ak èkskuz nan "si ... Lè sa a". "Apre dine vini regleman an." E. Pou kondwi yo dwe sere boulon sou ti mòn lan paten. Si pa gen okenn dezi pou avanse pou pi desann soti nan mòn lan, ak Lè sa a trennen treno a se pa nesesè. Ki ekri konsa: Yon → B oswa A⇒B.

Ekivalans implique ke efè a nèt fèt sèlman lè tou de opérandes yo se verite. Pou egzanp, swa bay fason jou Lè sa a, (ak sèlman Lè sa a), lè solèy la leve sou orizon an. Nan lang nan nan lojik matematik nan deklarasyon sa a se ekri tankou A≡B, A⇔B, yon == B.

Lòt lwa yo nan Boolean aljèb

Aljèb jijman devlope, ak anpil syantis enterese yo fòmile nouvo lwa. Ki pi popilè a yo konsidere kòm postila Scottish matematisyen O. De Morgan. Li remake e li te bay yon definisyon nan pwopriyete tankou negasyon fèmen, adisyon ak doub negatif.

Close refi sijere ke anvan parantèz a se pa refize: pa (A oswa B) = pa A oswa B. PA

Lè yo opérande a refize, kèlkeswa valè li yo, di sou de sa:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

E finalman, negasyon an doub tèt li konpanse. Sa vle di anvan swa negasyon opérande disparèt oswa rete sèlman yon sèl.

Kouman yo rezoud tès

Lojik implique senplifikasyon Predetermined ekwasyon. Jis tankou nan aljèb la kouche, li se nesesè yo omaksimòm fasilite premye kondisyon (yo debarase m de operasyon opinyon konplike, ak avèk yo), Lè sa a, kòmanse kap chèche yon repons kòrèk la.

Ki sa ki fè nan senplifye? Konvèti tout dérivés yo nan yon operasyon ki senp. Lè sa a, dekouvwi tout parantèz yo (oswa vis vèrsa, fè parantèz yo diminye eleman sa a). Pwochen etap la ta dwe itilize pwopriyete aljèb Boolean nan pratik (pwopriyete absòpsyon zewo ak yon sèl, ak t.).

Alafen, ekwasyon an ta dwe konpoze de yon kantite minimòm inkonu, konbine avèk operasyon ki senp. Fason ki pi fasil gade pou yon solisyon, si ou fè yon gwo kantite negatif fèmen. Lè sa a, repons lan pral pòp moute tankou si pou kont li.