Derive a nan sinis la ang lan ki egal a kosinis a nan ang la menm

Dana senp fonksyon Trigonometri y = Sin (x), se derivabl nan chak pwen nan domèn a tout antye. Nou dwe pwouve ke derive nan sinis la nan nenpòt ki agiman ki egal a kosinis a nan ang la menm, ki se, se '= Kòs (x).

se prèv la ki baze sou definisyon an nan yon fonksyon derive

Nou defini x (abitrè) nan kèk ti katye nan yon pwen an patikilye x Δh _0. Nou pral montre valè a fonksyon nan li, ak nan x nan pwen jwenn kantite a nan yon fonksyon bay yo. Si Δh - agiman enkremante, agiman an nouvo - sa a x ₀ + Δx = x, valè a nan sa a fonksyon pou yon valè yo bay nan agiman an (x) ki egal Sin (x ₀ + Δx), valè an fonksyon nan yon pwen espesifik (x ₀₎ se tou li te ye .

Koulye a, nou gen Δu = Sin (x ₀ + Δh) -Sin (x ₀₎ - jwenn fonksyon kantite.

Dapre fòmil la nan sòm total sinis nan de ang inegal nou pral konvèti diferans nan Δu.

Δu = Sin (x ₀₎ · Kòs (Δh) + Kòs (x ₀₎ · Sin (Δx) mwens Sin (x ₀₎ = (Kòs (Δx) -1 ) · Sin ( x ₀₎ + Kòs (x ₀₎ · Sin (Δh).

Fèt tèm pèmitasyon gwoupe premye bay twazyèm Sin (x _0), pran soti faktè a komen - san - parantèz yo. Nou te resevwa nan ekspresyon Kòs diferans lan (Δh) -1. Li kite yo chanje siy lan nan devan parantèz la ak parantèz. Lè ou konnen ki sa ki 1-Kòs a (Δh), nou fè chanjman an ak pou jwenn yon senplifye ekspresyon Δu, ki se Lè sa a, divize pa Δh.
Δu / Δh pral gen fòm nan: Kòs (x ₀₎ · Sin (Δh) / Δh 2 · Sin ² (0.5 x Δh) · Sin (x ₀₎ / Δh. Sa a se rapò a nan kantite a nan fonksyon an admisyon nan kantite a nan agiman an.

Li rete jwenn limit la nan rapò yo te jwenn nan nou pandan lim Δh, okipe a zewo.

Li konnen sa limit la Sin (Δh) / Δx ki egal a 1, anba kondisyon an. Ak ekspresyon 2 · Sin ² (0.5 x Δh) / Δh nan sòm total transfòmasyon yo ki kapab lakòz patikilye nan pwodwi ki gen kòm premye miltiplikatè limit remakab: nimeratè a nan fraksyon ak znemenatel divize an pa 2, kare a nan sinis la ranplase la pwodwi. Men ki jan:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Limit la nan ekspresyon sa a lè Δh gen tandans a zewo, yo pral egal a nimewo a nan zewo (0 miltipliye pa 1). Li sanble ke limit la nan rapò a Δy / Δh se Kòs (x ₀₎ · 1-0, sa a se Kòs (x _0), ekspresyon a nan ki se endepandan de Δh okipe 0. Konklizyon an: derive nan sinis la nan nenpòt ki ang ki egal a x kosinis nan x, yo ka ekri tankou: y '= Kòs (x).

se fòmil la ki kapab lakòz ki nan lis nan tablo a nan dérivés yo li te ye, kote tout fonksyon yo primè

Nan rezoud pwoblèm, kote li satisfè derive nan sinis la, ou ka itilize règleman yo nan diferansyasyon ak pare yo ki te fèt fòmil nan tab la. Pou egzanp: jwenn derive nan pi senp y fonksyon = 3 · Sin (x) -15. Nou itilize primè règ kalkile retire nimerik faktè a pou siyen nan derive a ak kalkile derive nimewo a konstan (ki se zewo). Aplike yon valè tab sinis a derive nan ang lan x egal Kòs (x). Resevwa repons lan: y '= 3 · Kòs (x)-O. derive sa a, nan vire, se tou yon primè fonksyon y = H · Kòs (x).

derive a nan sinis okib nan nenpòt ki agiman

Nan kalkil la nan ekspresyon an (Sin ² (x)) 'dwe sonje ki jan différenciés fonksyon konplèks. Se konsa, ² = Sin (x) - se yon fonksyon pouvwa kòm sinis okib. agiman li se tou yon fonksyon trigonometrik, yon agiman konplèks. Rezilta a nan ka sa a ki egal a pwodwi a nan miltiplikatè an premye se yon kare nan derive nan konplèks nan agiman an, ak dezyèm lan - derive nan sinis la. Isit la nan règ la pou différencier yon fonksyon nan yon fonksyon: (u (v (x))) 'se (u (v (x)))' · (v (x)) '. Ekspresyon de v (x) - yon agiman konplèks (entèn fonksyon). Si fonksyon an bay "y egal sinis la okib x", lè sa a derive nan fonksyon sa a konpoze se y '= 2 · Sin (x) · Kòs (x). pwodwi a nan miltiplikatè a premye double - derive li te ye eksponansyèl fonksyon, ak Kòs (x) - derive sinis konplèks agiman nan fonksyon an kwadratik. Ka rezilta final la ka transfòme lè l sèvi avèk fòmil la nan sinis la trigonometrik nan ang lan doub. A: derive a se Sin (2 · x). fòmil Sa a se fasil a sonje, li se souvan itilize kòm yon tab.