Entegral nan endefini. Kalkil nan entegral endefini

Youn nan seksyon yo ki fondamantal nan analiz matematik se kalkil matematik nan entegral. Li kouvri yon jaden trè lajè nan objè, kote premye a - li se endefini nan entegral. Pozisyon li vle di kòm yon kle ki se toujou nan lekòl segondè revele yon nimewo ogmante nan kandida ak opòtinite, ki dekri pi wo matematik.

aparans

Nan premye gade, li sanble nèt entegral nan modèn, aktualite, men nan pratik li vire soti ke li tounen nan 1800 rive BC. Lakay yo nan ofisyèlman konsidere kòm peyi Lejip yo pa t 'rive jwenn nou pi bonè prèv ki montre egzistans li. Li akòz mank de enfòmasyon, pandan tout tan pozisyone tou senpleman kòm yon fenomèn. Li yon lòt fwa ankò konfime nivo nan devlopman syantifik nan moun ki rete nan sa yo fwa. Finalman, travay yo yo te jwenn ansyen Matematisyen yo grèk, date soti nan BC la syèk 4yèm. Yo dekri metòd la itilize kote endefini entegral, sans nan nan ki te jwenn volim nan oswa nan yon zòn nan yon fòm courbe (ki genyen twa dimansyon ak ki genyen de dimansyon avyon, respektivman). te kalkil ki baze sou prensip la nan divizyon nan figi orijinal la nan eleman infiniman, depi ke se volim nan (zòn) deja li te ye nan men yo. Apre yon tan, metòd la te cultivées, Archimedes itilize li jwenn zòn nan nan yon parabòl. kalkil menm jan an nan menm tan an yo ka fè egzèsis nan ansyen peyi Lachin, kote yo te konplètman endepandan soti nan syans la parèy Greek.

devlopman

te zouti nan pwochen nan XI BC la syèk vin travay la nan elèv la Arab "kabwèt" Abu Ali al-Basri, ki moun ki pouse limit yo nan a deja li te ye, yo te sòti nan fòmil la entegral pou kalkile montan lajan yo nan kantite lajan yo ak degre nan premye moun ki katriyèm lan, k ap aplike pou sa a li te ye nan nou endiksyon metòd.
Esprit nan jounen jodi a yo admire pa moun peyi Lejip yo ansyen kreye moniman yo etonan san yo pa nenpòt zouti espesyal yo, eksepte pou sa yo ki an men pwòp yo, men se se pa yon pouvwa syantis fache nan tan an pa mwens yon mirak? Konpare ak fwa aktyèl yo nan lavi yo sanble prèske primitif, men desizyon an nan entegral endefini dedwiz toupatou ak itilize nan pratik pou devlopman pi lwen.

Pwochen etap la te pran plas nan syèk la XVI, lè matematisyen Italyen an Cavalieri pote endivizib metòd, ki ranmase chak Ferma. Sa yo pèsonalite de moute fondasyon kay la pou kalkil matematik nan modèn entegral, ki se li te ye nan moman sa a. Yo mare konsèp yo nan diferansyasyon ak entegrasyon, ki te deja wè sa tankou inite endepandan. Yo ak gwo, matematik yo nan tan sa a te patikil fragmenté konklizyon egziste nan tèt yo, ak itilize limite. Way ki nan ini ak jwenn yon baz komen te sèlman vre a nan moman sa a, gras a li, modèn analiz la matematik te genyen opòtinite pou yo grandi ak devlope.

Avèk pasaj la nan tan chanje tout bagay ak senbòl nan entegral kòm byen. Yo ak gwo, li te deziyen syantis ki nan pwòp fason l 'yo, pou egzanp, Newton itilize yon icon kare, ki mete yon fonksyon entegrabl, oswa tou senpleman mete tèt yo ansanm. diferans sa a te dire jiskaske syèk la ksvii, lè yon bòn tè pou teyori a tout antye nan matematik analiz syantis Gotfrid Leybnits prezante tankou yon karaktè abitye nan nou. Long "S" se aktyèlman ki baze sou lèt sa a nan alfabè a Women, depi vle di sòm total la nan primitif. Non de la entegral yo jwenn lan pou gras a Jakob Bernoulli, apre yo fin 15 ane.

Definisyon an fòmèl

entegral nan endefini depann sou definisyon an nan primitif la, se konsa nou konsidere l 'nan plas la an premye.

Antiderivative - se fonksyon an envès nan derive nan, nan pratik li se te rele primitif. Sinon: fonksyon primitif nan d - se yon D fonksyon, ki se derive v <=> la V '= v. Search primitif se kalkile entegral nan endefini, epi li se pwosesis la tèt li rele entegrasyon.

egzanp:

Fonksyon an a (y) = y ^3, ak S li yo primitif (y) = (y ^4/4).

Seri a nan tout primitif nan fonksyon an - sa a se yon entegral endefini, deziye li jan sa a: ∫v (x) DX.

Pa vèti nan lefèt ke V (x) - yo se sèlman kèk fonksyon primitif orijinal, ekspresyon kenbe: ∫v (x) DX = V (x) + C, kote C - konstan. Anba konstan nan abitrè refere a nenpòt ki konstan, depi derive li yo se zewo.

pwopriyete

Pwopriyete yo posede pa entegral nan endefini, esansyèlman ki baze sou definisyon an ak pwopriyete nan dérivés.
Konsidere pwen yo kle:

• derive entegral nan primitif la se primitif tèt li plis yon abitrè konstan C <=> ∫V '(x) DX = (x) + C V;
• derive nan entegral nan yon fonksyon se fonksyon orijinal la <=> (∫v (x) DX) '= v (x);
• konstan se pran soti nan anba siy lan entegral <=> ∫kv (x) DX = k∫v (x) DX, kote k - se abitrè;
• entegral, ki se te pran nan men sòm total la nan egal a idantik ak sòm la nan entegral <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

de dènye pwopriyete yo ka konkli ke entegral nan endefini se lineyè. Akòz sa a, nou gen: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Pou wè egzanp sou repare-solisyon entegral endefini.

Ou dwe jwenn ∫ nan entegral (3sinx + 4cosx) DX:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Soti nan egzanp lan nou ka konkli ke ou pa konnen ki jan yo rezoud entegral endefini? Jis jwenn tout primitif yo! Men, rechèch la pou prensip yo diskite anba a.

Metòd ak Men kèk egzanp

Yo nan lòd yo rezoud entegral a, ou ka resort nan metòd sila yo:

• pare yo pran avantaj de tab la;
• entegre pa pati;
• entegre pa ranplase varyab la;
• sentèz moute anba siyen nan diferans lan.

tab

Fason ki pi senp ak agreyab. Nan moman sa a, analiz matematik ka fè grandizè tab byen vaste, ki eple soti fòmil la debaz yo nan entegral endefini. Nan lòt mo, gen modèl sòti moute pou ou ak pou ou ka sèlman pran avantaj de yo. Isit la se lis la nan pozisyon yo tab prensipal yo, ki ka parèt nòmalman chak egzanp, gen yon solisyon:

• ∫0dy = C, kote C - konstan;
• ∫dy = y + C, kote C - konstan;
• ∫y ^N dy = (W ^{N + 1)} / (n + 1) + C, kote C - yon konstan, ak n - diferan de inite nimewo;
• ∫ (1 / y) dy = LN | y | + C, kote C - konstan;
• ^{∫e y dy = e y + C} , kote C - konstan;
• ^{∫k y dy = (k y /} LN k) + C, kote C - konstan;
• ∫cosydy = siny + C, kote C - konstan;
• ∫sinydy = -cosy + C, kote C - konstan;
• ∫dy / kosinis ² y = tgy + C, kote C - konstan;
• ∫dy / peche ² y = -ctgy + C, kote C - konstan;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, kote C - konstan;
• ∫chydy = timid + C, kote C - konstan;
• ∫shydy = Chy + C, kote C - konstan.

Si sa nesesè, fè yon koup nan etap mennen integrand nan yon View tabulaire epi jwi genyen batay la. EGZANP: ∫cos (5x -2) DX = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x peche (5x - 2) + C.

Dapre desizyon an li te klè ke pou egzanp yon integrand tab manke miltiplikatè 5. Nou ajoute li nan paralèl ak sa a miltipliye pa 1/5 ak ekspresyon jeneral pa t 'chanje.

Entegrasyon pa Pyès

Konsidere de fonksyon - z (y) ak x (y). Yo dwe kontinyèlman derivabl sou domèn li yo. Nan yon sèl pwopriyete diferansyasyon nou gen: d (XZ) = xdz + zdx. Entegre tou de bò, nou jwenn: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + zdx) => zo = ∫zdx + ∫xdz.

Reekri ekwasyon an ki kapab lakòz, nou jwenn fòmil la, ki dekri metòd la nan entegrasyon pa pati: ∫zdx = zo - ∫xdz.

Poukisa li nesesè? Lefèt ke kèk nan egzanp yo li se posib yo senplifye, kite a di, diminye ∫zdx ∫xdz, si lèt la se fèmen nan fòm lan tabulaire. Epitou, ka fòmil sa a dwe itilize plis pase yon fwa, pou rezilta pi bon.

Kouman yo rezoud entegral endefini fason sa a:

• nesesè yo kalkile ∫ (yo + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} a + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2E 2s, dy = e 2x} ds} = ((yo + 1) ^{2s e)} / 2-1 / 2 ∫e ^2s DX = ((yo + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• dwe kalkile ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, = y la, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = a (LNS-1) + C.

Ranplase varyab la

Prensip sa a pou rezoud entegral endefini yo pa mwens nan demann pase de la anvan, menm si konplike. Metòd la se jan sa a: Se pou V (x) - entegral a nan kèk v fonksyon (x). Nan evènman an ki nan tèt li entegral nan Egzanp slozhnosochinenny vini, gen chans rive nan jwenn konfonn ak desann solisyon yo yo te chemen sa ki mal. Pou evite sa a chanjman pratik soti nan x la varyab jiska Z, nan ki ekspresyon ki jeneral vizyèlman senplifye pandan w ap kenbe z an depann sou x.

An tèm matematik, sa a se jan sa a: ∫v (x) DX = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), kote x = y ( z) - sibstitisyon. Epi, nan kou, fonksyon envès z = y ^-1 (x) konplètman dekri relasyon an ak relasyon ki genyen ant varyab. Nòt enpòtan - DX nan diferans nesesèman ranplase ak yon dz diferans nouvo, depi chanjman an nan varyab nan entegral nan endefini enplike nan ranplase l 'toupatou, pa sèlman nan integrand la.

egzanp:

• dwe jwenn ∫ (yo + 1) / (yo ² + 2s - 5) ds

Aplike z an sibstitisyon = (yo + 1) / (yo ² + 2s-5). Lè sa a, dz = 2sds = 2 + 2 (yo + 1) ds <=> (yo + 1) ds = dz / 2. Kòm yon rezilta, ekspresyon ki anba la a, ki se trè fasil kalkile:

∫ (yo + 1) / (yo ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | a ² + 2s-5 | + C;

• ou dwe jwenn entegral ∫2 ^la e ^nan do a

Pou rezoud reyekri a nan fòm sa a:

^{∫2 la e nan ds = ∫ (} 2E) nan ds.

Nou endike pa yon = 2E (ranplasman nan agiman an etap sa a se pa, li se toujou yo), nou bay nou an w pèdi konplike entegral nan fòm tabulaire debaz:

^{∫ (2E) nan ds = ∫a} nan ds = yon s / LNA + C = (2E) s / LN (2E) + C = 2 ^an e ^s / LN (2 + lne) + C = 2 ^an e ^s / (LN2 + 1) + C.

Sentèz moute yon siy diferans

Yo ak gwo, metòd sa a nan entegral endefini - frè a jimo ki nan prensip la nan chanjman an nan varyab, men gen diferans ki genyen nan pwosesis la fè enskripsyon an. Se pou nou konsidere nan plis detay.

Si ∫v (x) DX = (x) + C ak y = z (x), lè sa a ∫v (y) dy = V (y) + C. V

An menm tan an nou pa dwe bliye trivial transfòmasyon yo entegral, nan mitan ki:

• DX = d (x + yon), ak dans - chak konstan;
• DX = (1 / a) d (rach + b), kote yon - konstan ankò, men se pa zewo;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Si nou konsidere ka-a jeneral kote nou kalkile entegral nan endefini, egzanp ka subsume anba fòmil la an jeneral w '(x) DX = dw (x).

egzanp:

• dwe jwenn ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (Coss) / Coss = -ln | Coss | + C.

Sou entènèt èd

Nan kèk ka, fay la nan yo ki ka vin oswa parès, oswa yon bezwen ijan, ou ka itilize envit la sou entènèt, ou pito, yo sèvi ak yon kalkilatris entegral endefini. Malgre konpleksite nan aparan ak nati konfli a entegral yo, desizyon an se sijè a algorithm espesifik yo, ki se ki baze sou prensip la nan "si ou pa fè sa ... Lè sa a, ...".

Natirèlman, yon egzanp patikilyèman konplike tout moun ki tankou yon kalkilatris pa pral metrize, kòm gen ka nan ki yon desizyon te jwenn yon atifisyèlman "fòse" pa entwodwi eleman sèten nan pwosesis la, paske rezilta yo yo se fason evidan yo rive jwenn. Malgre nati a kontwovèsyal nan deklarasyon sa a, se vre, kòm matematik yo, an prensip, yon syans abstrè, ak objektif prensipal li yo konsidere bezwen an pèmèt fwontyè yo. Vreman vre, pou yon lis kouri-an teyori yo se trè difisil pou avanse pou pi leve, li evolye, Se konsa, pa asime ke egzanp yo nan rezoud entegral endefini, ki te ban nou - sa a se wotè a nan opòtinite. Men, tounen nan bò a teknik nan bagay sa yo. Omwen tcheke kalkil yo, ou ka itilize sèvis la nan ki li te ekri yo ban nou. Si gen yon bezwen pou kalkil otomatik nan ekspresyon konplèks, Lè sa a, yo pa gen resort nan yon lojisyèl ki pi grav. Ta dwe peye atansyon sitou sou anviwònman an Matleb.

aplikasyon

Pran desizyon an nan entegral endefini nan premye gade sanble konplètman detache soti nan reyalite, paske li se difisil yo wè itilize nan evidan nan avyon an. Vreman vre, dirèkteman sèvi ak yo nenpòt kote ou pa kapab, men yo se yon eleman ki nesesè entèmedyè nan pwosesis la nan retrè nan solisyon yo itilize nan pratik. Kidonk, entegrasyon an nan diferansyasyon tounen, konsa aktivman patisipe nan pwosesis la nan rezoud ekwasyon.
Nan vire, ekwasyon sa yo gen yon enpak dirèk sou desizyon an nan pwoblèm mekanik, kalkil trajectoire ak konduktiviti tèmik - nan kout, tout bagay ki konstitye prezan an ak mete tan kap vini an. Endefini entegral, egzanp nan yo ki nou te konsidere kòm pi wo a, se sèlman trivial nan premye gade, kòm yon baz pote soti nan pi plis ak plis dekouvèt nouvo.